domingo, 7 de junho de 2009

Origens da Geometria

A natureza sempre cercou os seres humanos de uma rica variedade de configurações geométricas. Ao homem primitivo, por sua vez, não faltava uma capacidade inata para perceber essas configurações e compará-Ias, tanto quanto à forma como quanto ao tamanho.

Idéias como as de curva, superfície e volume devem ter surgido na mente humana da observação de seu meio ambiente. Por exemplo: o arco-íris no céu sugere uma curva, as bolhas de água têm a forma de um hemisfério e os troncos das árvores de cilindros. Da mesma forma, a noção de simetria deve ter sido despertada pela observação das folhas das árvores e do corpo dos animais, entre outras coisas.

Admiravelmente, o homem primitivo foi capaz de transformar o conhecimento sobre o espaço à sua volta numa espécie de geometria rudimentar prática, da qual ele de alguma forma se utilizou para construir moradias, tecer, confeccionar vasos e potes e para fazer suas pinturas e ornamentos. Mas essa geometria, apesar de notável sob muitos aspectos, não tinha nenhuma fundamentação científica consistente. Era uma coleção de noções geométricas intuitivas e desconexas.
Mais tarde, foi possível estabelecer propriedades gerais a partir da observação de situações geométricas particulares semelhantes.
Dessa forma, cada observação tornava-se um caso particular da propriedade obtida. Uma das vantagens disso era poder usar sempre o mesmo procedimento na resolução de problemas que fossem do mesmo tipo.

Por exemplo: a necessidade de medir terrenos levou algumas civilizações antigas a estabelecer procedimentos empíricos para o cálculo da área de quadriláteros. Em alguns casos esse procedimento era correto, em outros não. Os egípcios sabiam que a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura. Mas no túmulo de Ptolomeu XI, que morreu em 51 a.c., encontra-se o seguinte método incorreto para o cálculo da área de um quadrilátero convexo de lados sucessivos a, b, c, d: [(a+c)(b+d)]/4

Hoje sabe-se que esse procedimento, aqui dado em notação moderna, só é válido para o retângulo.

Erros como esse mostram que o método usado na geometria, nessa etapa de seu desenvolvimento, não era satisfatório, apesar de ter um fundo científico. Na matemática, tirar conclusões gerais a partir de observações de casos particulares, ou seja, usar o método indutivo, não é seguro. Foi na Grécia, por volta do século VI a.c., que pela primeira vez se percebeu isso. E foram os gregos também que sugeriram o método adequado para tirar conclusões em matemática: o método dedutivo.
De acordo com esse método, uma propriedade só tem validade quando provada ou demonstrada por meio de raciocínios lógicos consistentes.

O primeiro matemático a provar propriedades geométricas em vez de apenas aceitá-Ias com base na experiência foi Tales de Mileto (c. 585 a.c.). Consta que ele, de alguma maneira, teria demonstrado, por exemplo, que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. a=b

Ao que se sabe, quem começou a organizar a matemática pelo método dedutivo foi Pitágoras de Samos (c. 532 a.c.), ou a escola pitagórica, criada por ele. Uma Idas partes da geometria que os pitagóricos estudaram por meio desse método foi a teoria das retas paralelas.


Porém a mais antiga tentativa conhecida de organizar toda a geometria pelo método dedutivo se deve a Euclides (c. 300 a.c.), em Os elementos. Composta de treze livros, trata-se da obra matemática mais influente de todos os tempos. Basta dizer que durante mais de dois milênios foi adotada como texto escolar para o ensino da geometria e que só perde para a Bíblia em número de edições impressas.
Durante todo esse tempo foi considerada também o padrão de matemática bem-feita.

Não existem cópias de Os elementos que remontem à época de Euclides. A maioria das edições modernas provém de uma revisão feita por Têon de Alexandria, no século IV, portanto cerca de sete séculos depois da morte de Euclides. A mais antiga cópia manuscrita dessa edição que chegou até nossos dias data de 880 e encontra-se numa das bibliotecas da Universidade de Oxford. Há, porém, uma cópia manuscrita do século X, encontrada no Vaticano em 1808, que, por sua vez, é baseada em uma cópia anterior à de Têon. A primeira edição impressa de Os elementos saiu em Veneza no ano de 1482, portanto poucos anos depois do aperfeiçoamento das primeiras prensas, que substituíram o lento trabalho nas oficinas, onde se copiavam os livros à mão. Curiosamente, essa edição baseou-se numa tradução da obra feita do árabe, e não do grego, por Johannes Campanus (séc. XIII).

Hoje, por várias razões, Os elementos já não são tão popular como em outros tempos. Mas figura ainda e continuará sempre a figurar na galeria das grandes obras da literatura matemática de todos os tempos, perpetuando o nome de Euclides e ressaltando a grandeza da matemática grega.

Reflita sobre o texto Para os alunos da 7ª´Série do C.E.O.B (valor 0,3)

1. Povos antigos eram capazes de reproduzir formas geométricas observadas na natureza, mas não conheciam propriedades gerais da geometria. Qual a vantagem em se estabelecer propriedades gerais?

2. Para estabelecer propriedades gerais na matemática, as deduções são mais seguras que as induções. Justifique essa afirmação e explique a diferença entre o método dedutivo e o indutivo.

3. Identifique as afirmativas corretas:
a) Coube a Têon de Alexandria a edição da mais moderna obra sobre geometria feita até hoje.
b) A primeira edição impressa de Os elementos só apareceu em 1482, portanto mais de dezessete séculos depois da morte de seu autor.
c) Até hoje, somente a Bíblia foi mais adotada que a obra de Euclides para o ensino da geometria, porque ela é impressa há muito mais tempo.
d) A cópia de qs elementos encontrada em 1808 não é a mais antiga entre as existentes nas bibliotecas hoje: ela data do século X.

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